一、重慶郵電大學(xué)602數(shù)學(xué)分析考試內(nèi)容
第一部分一元微積分
第一章極限與連續(xù)
1、理解數(shù)列(函數(shù))極限的概念,掌握數(shù)列(函數(shù))極限的定義,會(huì)用定義數(shù)列(函數(shù))的極限。
2、熟練掌握數(shù)列(函數(shù))極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則;
3、掌握極限的單調(diào)有界定理和夾逼原理。
4、理解無窮小量、無窮大量的概念;掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系;會(huì)進(jìn)行無窮小量的階的比較,會(huì)運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求極限;
5、熟練掌握用兩個(gè)重要的極限求極限的方法。
6、理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念;會(huì)用定義判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性;理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與極限存在的關(guān)系;
7、會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)并判定其類型;
8、了解連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì);掌握連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算;理解復(fù)合函數(shù)連續(xù)性,反函數(shù)的連續(xù)性和一致連續(xù)性概念;
9、掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),并會(huì)用介值定理證明一些簡單命題;
10、理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性;熟練掌握利用連續(xù)性求極限的方法。
第二章關(guān)于實(shí)數(shù)的基本定理及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明
1、理解實(shí)數(shù)完備性定理的證明及其等價(jià)性;
2、理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明;
3、掌握實(shí)數(shù)完備性定理在證明數(shù)學(xué)命題中的應(yīng)用。
第三章一元函數(shù)的微分學(xué)
1、理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義;理解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系;掌握運(yùn)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù);
2、掌握求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程;
3、熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法;掌握反函數(shù)求導(dǎo)方法;
4、掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法;了解求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù);
5、理解高階導(dǎo)數(shù)的概念,并會(huì)求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù);
6、理解函數(shù)微分的概念;熟練掌握微分法則;掌握微分與可導(dǎo)的關(guān)系;會(huì)用一階微分形式不變性求函數(shù)的微分
7、理解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的幾何意義,并會(huì)用中值定理證明根的存在性和簡單的不等式;
8、熟練掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法
9、理解函數(shù)的泰勒公式;掌握泰勒公式的拉格朗日型余項(xiàng);了解積分型余項(xiàng)和柯西余項(xiàng);掌握幾個(gè)基本初等函數(shù)的泰勒公式
10、熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)單調(diào)增、減區(qū)間的方法,并會(huì)用函數(shù)的單調(diào)性證明簡單不等式;
11、理解函數(shù)極值的概念;掌握求函數(shù)的極值和最值的方法,并會(huì)解簡單的應(yīng)用問題;
12、掌握判斷函數(shù)的凹凸性的方法,并會(huì)求曲線的拐點(diǎn);
13、了解弧微分及平面曲線曲率計(jì)算的基本公式。
第四章一元函數(shù)的積分學(xué)
1、理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系;掌握不定積分的性質(zhì);掌握原函數(shù)存在性定理;
2、熟練掌握不定積分的基本公式;第一換元法、第二換元法;分部積分法;
3、會(huì)求簡單有理函數(shù)的不定積分。
4、理解定積分的概念及其幾何意義;了解定積分的積分和、上和、下和的概念;掌握定積分可積的充分條件、必要條件和充要條件;
5、掌握定積分的基本性質(zhì);
6、理解變上限定積分的概念;熟練掌握對變上限定積分的求導(dǎo)方法;
7、熟練掌握牛頓---萊布尼茨公式和微積分學(xué)基本定理;
8、熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法。
9、掌握平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)曲面的面積的計(jì)算;
10、掌握定積分在物理上計(jì)算壓力、功、重心等簡單應(yīng)用;
11、了解定積分的近似計(jì)算方法。
第二部分級數(shù)與廣義積分
第一章數(shù)項(xiàng)級數(shù)
1、了解上、下極限的基本概念;理解上、下極限與極限之間的關(guān)系;
2、掌握數(shù)項(xiàng)級數(shù)、級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念;理解并掌握收斂級數(shù)的基本性質(zhì);掌握級數(shù)收斂的必要條件;
3、熟練掌握正項(xiàng)級數(shù)收斂的判別方法;
4、掌握一般項(xiàng)級數(shù)、交錯(cuò)級數(shù)、絕對收斂、條件收斂的概念;
5、掌握交錯(cuò)級數(shù)收斂的萊布尼茲判別法;了解任意項(xiàng)級數(shù)收斂的阿貝爾判別法和狄里克萊判別法。
第二章廣義積分
1、理解無窮限廣義積分和無界函數(shù)的廣義積分的概念;
2、掌握非負(fù)函數(shù)無窮限廣義積分收斂性和比較判別法;了解阿貝爾和狄里克萊判別法;
3、掌握無界函數(shù)的廣義積分的收斂性和比較判別法;了解阿貝爾和狄里克萊判別法。
第三章函數(shù)項(xiàng)級數(shù)
1、理解函數(shù)列及其一致收斂性、冪級數(shù)的概念;
2、理解和掌握函數(shù)項(xiàng)級數(shù)及其一致收斂性概念;
3、掌握一致收斂性M-判別法;了解阿貝爾判別法和狄里克萊判別法;
4、掌握一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)。
5、熟練掌握冪級數(shù)的收斂區(qū)間和收斂半徑;
6、掌握冪級數(shù)的性質(zhì)和冪級數(shù)的運(yùn)算法則;
7、掌握簡單初等函數(shù)的冪級數(shù)的展開。
第四章傅里葉級數(shù)
1、了解三角級數(shù)、正交函數(shù)系、函數(shù)的傅里葉級數(shù)的概念;理解和掌握收斂性定理的證明;
2、能將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù),并利用收斂性定理確定其收斂性;
3、掌握偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅里葉級數(shù);
第四部分多元函數(shù)的微積分
第一章多元函數(shù)的極限與連續(xù)
1、理解平面點(diǎn)集的相關(guān)概念;
2、了解完備性定理;
3、掌握二元函數(shù)的概念;理解二元函數(shù)的幾何意義;
4、理解并掌握二元函數(shù)極限和累次極限的概念;掌握二元函數(shù)極限與累次極限的計(jì)算方法;
5、理解二元函數(shù)的連續(xù)性概念;了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
第二章多元函數(shù)的微分學(xué)及應(yīng)用
1、理解多元函數(shù)可微性與全微分的概念;理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念;了解可微性的幾何意義與應(yīng)用;
2、掌握復(fù)合函數(shù)微分法;熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則;掌握復(fù)合函數(shù)的全微分的求法;
3、掌握偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用,會(huì)求切線、法平面、切平面、法線;
4、掌握方向?qū)?shù)與梯度的概念及計(jì)算;
5、了解二元函數(shù)的泰勒公式;
6、理解多元函數(shù)極值、條件極值問題;
7、了解最小二乘法;熟練掌握求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。
第三章隱函數(shù)存在定理、函數(shù)相關(guān)
1、理解隱函數(shù)概念,了解隱函數(shù)存在性條件的分析;
2、了解隱函數(shù)存在定理;掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法則;
3、了解函數(shù)相關(guān)的基本概念。
第四章含參變量的積分
1、理解含參量正常積分的概念;掌握含參量正常積分的性質(zhì);會(huì)利用含參量正常積分的性質(zhì)處理它的積分和導(dǎo)數(shù);
2、理解含參變量廣義積分的概念;熟悉含參變量廣義積分的一致收斂性的概念;
3、掌握含參變量廣義積分一致收斂的M判別法;了解含參變量廣義積分一致收斂狄里克萊判別法、阿貝爾判別法;掌握含參變量廣義積分的性質(zhì);
4、理解函數(shù)的定義、定義域及基本性質(zhì);了解函數(shù)與函數(shù)的關(guān)系。
第五章多元函數(shù)的積分學(xué)及應(yīng)用
1、熟練掌握直角坐標(biāo)系下、極坐標(biāo)系下的二重積分計(jì)算;掌握的二重積分計(jì)算;
2、掌握直角坐標(biāo)系下三重積分計(jì)算;掌握三重積分的變量變換;會(huì)柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算;
3、曲面的面積;重積分在物理學(xué)上的應(yīng)用
4、了解重積分在幾何上的應(yīng)用;掌握曲面的面積的計(jì)算;掌握重積分在物理學(xué)上的簡單應(yīng)用。
5、了解廣義重積分的概念及計(jì)算。
6、掌握第一類曲線積分和第二類曲線積分的計(jì)算及相互關(guān)系;
7、掌握第一類曲面積分和第二類曲面積分的計(jì)算及其相互關(guān)系。
8、熟練掌握格林公式;高斯公式;斯托克斯公式;
9、掌握曲線積分與路徑無關(guān)的條件,并能熟練運(yùn)用。
10、了解場論的相關(guān)概念。
二、重慶郵電大學(xué)602數(shù)學(xué)分析參考書目
《數(shù)學(xué)分析(第五版)》,華東師大數(shù)學(xué)系編.高等教育出版社,2019年,ISBN:9787040506945.
《數(shù)學(xué)分析(第三版)》,歐陽光中、朱學(xué)炎、金福臨、陳傳璋,復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等教育出版社,2018年,ISBN:9787040497182.
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