設(shè)一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3……xn中,各組數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是(x1-M)2,(x2-M)2……(xn-M)2,那么我們用他們的平均數(shù)來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小,并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差。
【例】兩人的5次測驗(yàn)成績?nèi)缦拢?/div>
X:50,100,100,60,50,平均成績?yōu)镋(X)=72;
Y:73,70,75,72,70,平均成績?yōu)镋(Y)=72。
平均成績相同,但X不穩(wěn)定,對平均值的偏離大。方差描述隨機(jī)變量對于數(shù)學(xué)期望的偏離程度。
單個(gè)偏離是消除符號影響方差即偏離平方的均值,記為D(X):
直接計(jì)算公式分離散型和連續(xù)型,具體為:這里是一個(gè)數(shù)。推導(dǎo)另一種計(jì)算公式
得到:“方差等于平方的均值減去均值的平方”。
其中,分別為離散型和連續(xù)型的計(jì)算公式。稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差,方差描述波動
性質(zhì)
1.設(shè)C為常數(shù),則D(C)=0(常數(shù)無波動);
2.D(CX)=C2D(X)(常數(shù)平方提取,C為常數(shù),X為隨機(jī)變量);
證:特別地D(-X)=D(X),D(-2X)=4D(X)(方差無負(fù)值)
3.若X、Y相互獨(dú)立,則,證:記
前面兩項(xiàng)恰為D(X)和D(Y),第三項(xiàng)展開后為
當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時(shí),故第三項(xiàng)為零。特別地獨(dú)立前提的逐項(xiàng)求和,可推廣到有限項(xiàng)。
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