Black-Scholes期權(quán)定價模型是FRM一級考試中較為重要的考點。計算題中，經(jīng)常會考到BS定價公式，因此FRM考生們要熟記這個知識點。不過，由于期權(quán)定價受多種因素影響，期權(quán)價格的決定非常復(fù)雜，考生對于期權(quán)定價的其他知識只需了解即可。接下來，F(xiàn)RM君就給大家梳理一下Black-Scholes期權(quán)定價模型的相關(guān)考點內(nèi)容。
　　期權(quán)定價模型由布萊克與斯科爾斯在20世紀70年代提出（Black-Scholes-Merton Option Pricing Model）。該模型認為，只有股價的當前值與未來的預(yù)測有關(guān)；變量過去的歷史與演變方式與未來的預(yù)測不相關(guān)。模型表明，期權(quán)價格的決定非常復(fù)雜，合約期限、股票現(xiàn)價、無風險資產(chǎn)的利率水平以及交割價格等都會影響期權(quán)價格。
　　期權(quán)定價模型基于對沖證券組合的思想。投資者可建立期權(quán)與其標的股票的組合來保證確定報酬。在均衡時，此確定報酬必須得到無風險利率。期權(quán)的這一定價思想與無套利定價的思想是一致的。所謂無套利定價就是說任何零投入的投資只能得到零回報，任何非零投入的投資，只能得到與該項投資的風險所對應(yīng)的平均回報，而不能獲得超額回報（超過與風險相當?shù)膱蟪甑睦麧櫍?。從Black-Scholes期權(quán)定價模型的推導(dǎo)中，不難看出期權(quán)定價本質(zhì)上就是無套利定價。
　　B-S-M模型假設(shè)
　　1、股票價格隨機波動并服從對數(shù)正態(tài)分布；
　　2、在期權(quán)有效期內(nèi)，無風險利率和股票資產(chǎn)期望收益變量和價格波動率是恒定的；
　　3、市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本；
　　4、股票資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)不支付紅利及其它所得(該假設(shè)可以被放棄)；
　　5、該期權(quán)是歐式期權(quán)，即在期權(quán)到期前不可實施；
　　6、金融市場不存在無風險套利機會；
　　7、金融資產(chǎn)的交易可以是連續(xù)進行的；
　　8、可以運用全部的金融資產(chǎn)所得進行賣空操作。
　　B-S-M定價公式
　　C=S·N(d1)-X·exp(-r·T)·N(d2)
　　其中:
　　d1=[ln(S/X)+(r+σ^2/2)T]/(σ√T)
　　d2=d1-σ·√T
　　C—期權(quán)初始合理價格
　　X—期權(quán)執(zhí)行價格
　　S—所交易金融資產(chǎn)現(xiàn)價
　　T—期權(quán)有效期
　　r—連續(xù)復(fù)利計無風險利率
　　σ—股票連續(xù)復(fù)利（對數(shù)）回報率的年度波動率（標準差）
　　N(d1)，N(d2）—正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)，在此應(yīng)當說明兩點：
　　*9，該模型中無風險利率必須是連續(xù)復(fù)利形式。一個簡單的或不連續(xù)的無風險利率(設(shè)為r0)一般是一年計息一次，而r要求為連續(xù)復(fù)利利率。r0必須轉(zhuǎn)化為r方能代入上式計算。兩者換算關(guān)系為：r=LN(1+r0)或r0=exp(r)-1例如r0=0.06，則r=LN(1+0.06)=0.0583，即100以583%的連續(xù)復(fù)利投資第二年將獲106，該結(jié)果與直接用r0=0.06計算的答案一致。
　　第二，期權(quán)有效期T的相對數(shù)表示，即期權(quán)有效天數(shù)與一年365天的比值。如果期權(quán)有效期為100天，則T=100/365=0.274。
　　B-S-M模型的推導(dǎo)
　　B-S-M模型的推導(dǎo)是由看漲期權(quán)入手的，對于一項看漲期權(quán)，其到期的期值是:
　　E[G]=E[max(ST-L，O)]
　　其中，
　　E[G]—看漲期權(quán)到期期望值
　　ST—到期所交易金融資產(chǎn)的市場價值
　　L—期權(quán)交割(實施)價
　　到期有兩種可能情況:
　　1、如果ST>L，則期權(quán)實施以進帳(In-the-money)生效，且mAx(ST-L，O)=ST-L
　　2、如果ST<L，則期權(quán)所有人放棄購買權(quán)力，期權(quán)以出帳(Out-of-the-money)失效，且有:
　　max(ST-L，O)=0
　　從而：
　　E[CT]=P×(E[ST|ST>L)-L)+(1-P)×O=P×(E[ST|ST>L]-L)
　　其中：P—(ST>L)的概率E[ST|ST>L]—既定(ST>L)下ST的期望值將E[G]按有效期無風險連續(xù)復(fù)利rT貼現(xiàn)，得期權(quán)初始合理價格:
　　C=P×E-rT×(E[ST|ST>L]-L)(*)這樣期權(quán)定價轉(zhuǎn)化為確定P和E[ST|ST>L]。
　　首先，對收益進行定義。與利率一致，收益為金融資產(chǎn)期權(quán)交割日市場價格(ST)與現(xiàn)價(S)比值的對數(shù)值，即收益=1NSTS。由假設(shè)1收益服從對數(shù)正態(tài)分布，即1NSTS～N(μT，σT2)，所以E[1N(STS]=μT，STS～EN(μT，σT2)可以證明，相對價格期望值大于EμT，為:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT從而，μT=T(γ-σ22)，且有σT=σT
　　其次，求(ST>L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正態(tài)分布有性質(zhì)：Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正態(tài)分布隨機變量χ—關(guān)鍵值μ—ζ的期望值σ—ζ的標準差。所以：P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由對稱性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三，求既定ST>L下ST的期望值。因為E[ST|ST]>L]處于正態(tài)分布的L到∞范圍，所以，E[ST|ST]>=S·EγT·N(D1)N(D2)
　　其中：D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT
　　最后，將P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得B-S定價模型:C=S·N(D1)-L·E-γT·N(D2)