考研數(shù)學(xué)這一題中，如何證明這個廣義積分的斂散性？

其他回答

• 『同學(xué)
  反常積分的斂散性
  • 吳老師
    1、定義法求積分值與判定積分的斂散性
    定義法計算反常積分及判定反常積分的收斂性的依據(jù)：定積分的計算與積分結(jié)果求極限
    即首先通過將無窮限的反常積分轉(zhuǎn)換為有限區(qū)間上的定積分和將無界函數(shù)的反常積分轉(zhuǎn)換為有界函數(shù)的定積分計算；然后對積分結(jié)果求極限；最后根據(jù)極限的存在性和極限值計算得到反常積分的值或者判定反常積分的斂散性。
    2、反常積分收斂性的判定方法
    判定方法對照正項常值級數(shù)收斂性判定的比較審斂法與相類似的結(jié)論：p-積分與q-積分
    (1)無窮區(qū)間上的反常積分收斂性判定方法的比較審斂法，基于p-積分的結(jié)論
    (2)無界函數(shù)的反常積分收斂性判定方法的比較審斂法，基于q-積分的結(jié)論
    【注1】對于同時包含兩類反常積分的積分，借助積分對積分區(qū)間的可加性，分別轉(zhuǎn)換為兩類反常積分計算積分值或判定積分的收斂性。
    【注2】對于一個反常積分轉(zhuǎn)換為幾個基本的反常積分進(jìn)行收斂性的判定時，值得注意的是，只要一項積分發(fā)散，則整個積分發(fā)散。
    【注3】反常積分同樣可以使用“偶倍奇零”化簡積分計算，注意能夠使用的前提是反常積分收斂。
• 姝同學(xué)
  判斷下列反常積分的收斂性，如果收斂，計算反常積分的值
  • 師老師
    (1)小題。原式=-∫(01)d[√(1-x²)]=-√(1-x²)丨(x=01)=1。收斂。
    (2)小題。原式=∫(1e)d(lnx)/√(1-ln²x)]=arcsin(lnx)丨(x=1e)=πǘ。收斂。
    (3)小題。原式=∫(-∞0)(丨x丨+x)e^(-丨x丨)]dx+∫(0∞)(丨x丨+x)e^(-丨x丨)]dx。
    而，x∈(-∞0)時，丨x丨=-x、x∈(0∞)時，丨x丨=x，∴原式=2∫(0∞)xe^(-x)dx=2。收斂。
    供參考。
• s同學(xué)
  求級數(shù)sinn/n和cosn/n的斂散性，簡要說下步驟。謝謝
  • 周老師
    用積化和差公式，|2sin1/2(sin1+sin2+...+sinn)|=|cos1/2-cos(2n+1)/2|，因此|sin1+...+sinn|<=1/sin1/2，部分和有界，1/n單調(diào)遞減趨于0，dirichlet判別法收斂。|2sin1/2(cos1+cos2+...+cosn)|=|sin1/2-sin(2n+1)/2|。類似可得收斂。