考研真題中為何x+y=2能滿足一正？如果是一正一負(fù)怎么辦？

其他回答

• 酒同學(xué)
  已知xy是正整數(shù)x≤2001x^2+1＝2y^2求所有滿足條件的正整數(shù)對(duì)...
  • 劉老師
    這個(gè)叫負(fù)佩爾方程把1變成-1的話就是佩爾方程.有一套詳細(xì)的理論這里符號(hào)也打不清楚我就不細(xì)說(shuō)了你要是想了解更詳細(xì)的理論自己搜一下吧.對(duì)于這道題來(lái)講大概是這樣的首先平方差公式(x-√2y)(x+√2y)=-1兩邊取奇數(shù)次方(x-√2y)^n(x+√2y)^n=-1這里n是奇數(shù)而注意到(x+√2y)^n = xn+√2yn（就是用二項(xiàng)式定理展開(kāi)然后把有根號(hào)的合并這里xnyn都是整數(shù)n是下標(biāo)）同理(x-√2y)^n=xn-√2yn（√2都來(lái)自奇數(shù)次項(xiàng)負(fù)號(hào)也體現(xiàn)在奇數(shù)次項(xiàng)所以直接yn加負(fù)號(hào)就好）因此上述等式轉(zhuǎn)化為xn^2 - 2yn^2=-1也就是說(shuō)如果xy是一組解那么xnyn也是一組解.注意n是奇數(shù)這樣你已經(jīng)知道11是解了那么(1+√2)^3=7+5√2因此7和5是一組解接下來(lái)(1+√2)^5=41+29√2因此41和29是一組解這樣就得到了所有的解.但是直接求n次方比較麻煩所以可以考慮遞推式(1+√2)^(n+2)=(1+√2)^n (3+2√2) = (xn+√2yn)(3+2√2)=(3xn+4yn) + (2xn+3yn)√2所以xn yn的下一組解是3xn+4yn和2xn+3yn
• 劉同學(xué)
  計(jì)算二重積分，∫∫(x+y)dxdy其中d為x^2+y^2≤x+y
  • 徐老師
    這題的積分區(qū)域---圓域的圓心為（1/21/2)，半徑為(√2)/2
    因?yàn)閳A心非原點(diǎn)，所以無(wú)論用直角坐標(biāo)還是極坐標(biāo)，上下限都不好確定。所以應(yīng)想到把圓域平移到原點(diǎn)處，即用坐標(biāo)變換。
    但二重積分的坐標(biāo)變換涉及到雅克比公式，一般來(lái)說(shuō)比較麻煩，而此題只是平移，不涉及旋轉(zhuǎn)，變形之類得，所以可省去雅克比的過(guò)程。
    
    令x=(1/2)+u，y=(1/2)+v則積分圓域變?yōu)橐裕?0）為圓心，以(√2)/2為半徑。
    而原積分=∫∫(1+u+z)dudv
    因?yàn)?，變換后的積分區(qū)域關(guān)于u軸和v軸都對(duì)稱，
    且被積函數(shù)1+u+z關(guān)于u和v分別為奇函數(shù)
    所以，∫∫ududv=∫∫vdudv=0
    故∫∫(1+u+z)dudv=∫∫dudv=變換后圓域面積=π/2
    
    （但注意，平移的時(shí)候能像這樣代入，因?yàn)檠趴吮刃辛惺降扔?，其他變換還要乘以雅克比行列式。）
• 綿同學(xué)
  計(jì)算第一類曲面積分∫下標(biāo)l√(x^2+y^2)ds 其中l(wèi)為圓周x^2+y^2=ax。為什么積分限為-π--π。
  • 郭老師
    如果你用的是參數(shù)方程x=(a/2)+(a/2)sint，y=(a/2)cost
    那么積分限是-π→π，或0→2π，都是可以的，結(jié)果一樣，不過(guò)這類題一般來(lái)說(shuō)-π→π會(huì)簡(jiǎn)單些，因?yàn)榭梢岳闷媾紝?duì)稱性來(lái)化簡(jiǎn)。